Amortissement de Rayleigh explicite

Amortissement de Rayleigh explicite

Cette note résume la formulation d’amortissement de Rayleigh proportionnel à la masse utilisée par le solveur explicite.

Modèle d’amortissement

Comfor utilise le modèle de Rayleigh réduit à sa partie proportionnelle à la masse :

\[ \mathbf{C}^d = \alpha \mathbf{M} \]

où \(\alpha\) est le coefficient d’amortissement nodal.

Le solveur explicite fait avancer la vitesse décalée avec un schéma en différences centrées. Pour un pas variable, l’intervalle de kick vaut :

\[ \Delta t^n = \frac{1}{2}\left(\Delta t^{n-1/2} + \Delta t^{n+1/2}\right) \]

Mise à jour amortie en translation

À l’instant \(t^n\), l’équilibre translationnel s’écrit :

\[ \mathbf{M}\mathbf{a}^n + \mathbf{C}^d \mathbf{v}^{n-1/2} = \mathbf{f}^n \]

En utilisant \(\mathbf{C}^d = \alpha \mathbf{M}\), on obtient :

\[ \mathbf{a}^n + \alpha \mathbf{v}^{n-1/2} = \mathbf{M}^{-1}\mathbf{f}^n \]

Dans Comfor, les chargements de type accélération, comme la gravité, sont assemblés dans le terme d’accélération physique :

\[ \mathbf{a}_{\mathrm{phys}}^n = \mathbf{M}^{-1}\mathbf{f}^n + \mathbf{a}_{\mathrm{load}}^n \]

Le kick amorti s’écrit alors :

\[ \mathbf{a}_{\mathrm{alg}}^n = \frac{\mathbf{a}_{\mathrm{phys}}^n - \alpha \mathbf{v}^{n-1/2}} {1 + \frac{1}{2}\alpha \Delta t^n} \]

La grandeur stockée par le solveur est donc l’accélération algorithmique utilisée par le kick, et non seulement le terme physique non amorti.

Mise à jour amortie en rotation

La même structure est appliquée au mouvement de rotation. Soient \(\boldsymbol{\omega}^{n-1/2}\) la vitesse angulaire décalée, \(\mathbf{I}\) le tenseur d’inertie nodal, et \(\mathbf{m}^n\) le moment nodal. L’accélération angulaire physique inclut le terme gyroscopique :

\[ \boldsymbol{\alpha}_{\mathrm{phys}}^n = \mathbf{I}^{-1}\left(\mathbf{m}^n - \boldsymbol{\omega}^{n-1/2} \times (\mathbf{I}\boldsymbol{\omega}^{n-1/2})\right) + \boldsymbol{\alpha}_{\mathrm{load}}^n \]

Le kick amorti en rotation devient :

\[ \boldsymbol{\alpha}_{\mathrm{alg}}^n = \frac{\boldsymbol{\alpha}_{\mathrm{phys}}^n - \alpha \boldsymbol{\omega}^{n-1/2}} {1 + \frac{1}{2}\alpha \Delta t^n} \]