Sémantique temporelle

Sémantique temporelle du solveur explicite

Cette page définit la signification temporelle des principales grandeurs nodales utilisées par le solveur explicite. Elle complète la présentation théorique du schéma de résolution par le contrat de temporalité utilisé par l’implémentation.

Comfor utilise un schéma de différences centrées à pas variable sous forme leapfrog :

• les positions, déplacements, rotations, efforts et accélérations vivent aux instants entiers t^n
• la vitesse principale est décalée sur les demi-pas t^{n-1/2} et t^{n+1/2}

Contexte d’incrément

L’incrément courant est représenté par :

• time_n : temps courant du solveur t^n
• dt_forward : intervalle de dérive avant Δt^{n+1/2}
• dt_backward : intervalle de dérive précédent Δt^{n-1/2}

Deux quantités dérivées sont utilisées en permanence :

\[ \Delta t^n = \frac{1}{2}\left(\Delta t^{n-1/2} + \Delta t^{n+1/2}\right) \]

et

\[ t^{n+1/2} = t^n + \frac{1}{2}\Delta t^{n+1/2} \]

La première quantité est l’intervalle de kick utilisé pour mettre à jour la vitesse décalée. La seconde est l’instant auquel les conditions limites de vitesse au demi-pas sont appliquées.

Temporalité des champs nodaux

Le solveur explicite utilise l’interprétation suivante :

Grandeur	Signification	Instant
position, displacement, rotation	configuration courante	t^n
velocity_half	vitesse décalée	t^{n-1/2} à l’entrée, t^{n+1/2} après le kick
velocity_at_n	vitesse reconstruite au pas entier	t^n
acceleration	accélération de kick utilisée par le solveur	t^n
internal_force, external_force, contact_force, total_force	efforts nodaux assemblés	t^n
champs historiques *_prev	valeurs au pas précédent	t^{n-1}

La distinction entre velocity_half et velocity_at_n est essentielle :

• velocity_half est utilisée par l’intégrateur explicite et par les mises à jour constitutives dépendantes du taux
• velocity_at_n est utilisée pour les sorties nodales et pour l’énergie cinétique

Un incrément explicite

Un appel à ExplicitSolver::solve() fait avancer la solution de t^n à t^{n+1}.

La séquence est la suivante :

1. choisir la valeur courante de dt_forward
2. assembler les efforts nodaux sur la configuration courante d^n
3. calculer les accélérations nodales à t^n
4. reconstruire la vitesse au pas entier v^n
5. évaluer les diagnostics d’énergie courants
6. sauvegarder l’état convergé au pas n, nécessaire pour l’incrément suivant
7. effectuer le kick de la vitesse au demi-pas avec Δt^n
8. appliquer les conditions limites de vitesse prescrites à t^{n+1/2}
9. dériver la configuration jusqu’à d^{n+1} avec Δt^{n+1/2}
10. sauvegarder l’historique des efforts
11. avancer l’horloge du solveur à t^{n+1}

Temporalité des lois de comportement

Les mises à jour constitutives suivent deux schémas fréquents.

Voie basée sur la configuration

Les matériaux et sections qui dépendent de la géométrie courante ou du gradient de déformation sont évalués sur la configuration d^n. Ils assemblent donc les contraintes et les efforts internes à l’instant t^n.

Voie basée sur le taux

Les formulations dépendantes du taux utilisent la vitesse décalée à l’entrée de l’incrément :

• v^{n-1/2}
• avec Δt^{n-1/2}

Cela définit l’incrément de déformation qui se ferme à t^n, puis sert à assembler l’état d’effort f^n.

Conventions de vitesse

• velocity_half est la grandeur cinématique principale de la mise à jour explicite
• velocity_at_n est la vitesse reconstruite au pas entier utilisée pour les sorties et l’évaluation énergétique

Il convient d’éviter d’introduire une grandeur velocity non qualifiée si sa localisation temporelle n’est pas explicite.

État initial

Avant le premier incrément :

• l’état nodal est réinitialisé sur la configuration de référence
• les conditions limites de vitesse prescrites à t = 0 sont appliquées
• les conditions limites d’accélération prescrites à t = 0 sont appliquées

Le premier état écrit correspond à cette configuration initialisée.

Les chargements pilotés par une accélération, comme la gravité, sont assemblés pendant le premier incrément. La sortie écrite à t = 0 correspond donc à un état de référence initialisé, et non à un état dynamique entièrement assemblé pour ces chargements.

Temporalité des sorties

Comfor écrit :

• une sortie initiale à t = 0
• une sortie après chaque incrément résolu, selon la fréquence configurée

Chaque état écrit est étiqueté avec son temps convergé réel.

Les trackers de vitesse nodale utilisent la vitesse reconstruite au pas entier v^n, et non la vitesse décalée au demi-pas.

Diagnostics d’énergie

Le solveur explicite suit :

• l’énergie interne
• l’énergie externe
• l’énergie cinétique
• des indicateurs de résidu et de balance

Ces quantités sont utiles, mais la dissipation par amortissement et le travail associé aux conditions cinématiques prescrites ne sont pas encore isolés comme termes séparés.

Résumé

Le contrat du solveur explicite peut être résumé ainsi :

• la géométrie et les efforts sont évalués aux instants entiers t^n
• la vitesse principale est stockée sur des demi-pas décalés
• un incrément assemble sur d^n, effectue le kick de la vitesse au demi-pas, puis dérive jusqu’à d^{n+1}
• les mises à jour dépendantes du taux utilisent v^{n-1/2} et Δt^{n-1/2}
• les sorties de vitesse nodale utilisent la vitesse reconstruite au pas entier v^n
• les sorties après résolution sont étiquetées avec le temps convergé réel de l’état