Généralités
Dans cette section, vous trouverez des détails sur les modèles physiques et les méthodes utilisés dans Comfor. Pour plus d'informations, le lecteur est invité à consulter les articles cités dans chaque section.
Notation#
Conformément à l'usage courant dans la littérature sur les éléments finis et la mécanique des milieux continus, nous adoptons les règles suivantes.
Notation des variables
| Notation | Description |
|---|---|
| \(\alpha,\beta,\gamma, ...\) | Lettres grecques minuscules pour les scalaires |
| \(\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c},...\) | Lettres minuscules en gras pour les vecteurs |
| \(\mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C},...\) | Lettres majuscules en gras pour les tenseurs d’ordre deux |
| \(\mathcal{A},\mathcal{B},\mathcal{C},...\) | Lettres calligraphiées majuscules en gras pour les tenseurs d’ordre trois |
| \(\mathbb{A},\mathbb{B},\mathbb{C},...\) | Lettres majuscules en double barre pour les tenseurs d’ordre quatre |
Notation indicielle
Les composants des tenseurs sont écrits avec des sous-indexes: \(A_{ij}, e_i\), ...
Nous adoptons la convention de sommation d'Einstein, où les indices qui sont répétés exactement deux fois sont additionnés, sauf indication contraire. Par exemple :
Notation de Voigt
Les tenseurs d’ordre deux sont transformés en vecteurs colonnes selon la convention suivante :
Algèbre linéaire
| Notation | Description |
|---|---|
| \(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}\) | Produit scalaire des vecteurs \(\mathbf{a}\) et \(\mathbf{b}\) |
| \(\mathbf{a}\otimes\mathbf{b}\) | Produit tensoriel (ou dyadique) des vecteurs \(\mathbf{a}\) et \(\mathbf{b}\) |
| \(\mathbf{a}\times\mathbf{b}\) | Produit vectoriel des vecteurs \(\mathbf{a}\) et \(\mathbf{b}\) |
| \(\mathbf{A}:\mathbf{B}\) | Produit doublement contracté des deux tenseurs \(\mathbf{A}\) et \(\mathbf{B}\) |
| \(\mathbf{A}^{T}\) | Transposée d'une matrice ou d’un vecteur |
| \(\dot \square\) | Dérivée temporelle de la quantité \(\square\) |
| \(\ddot \square\) | Dérivée seconde en temps de la quantité \(\square\) |
| \(\mathsf{tr}\,\square\) | Trace d’une matrice ou d’un tenseur \(\square\) (\(\mathsf{tr}\,\mathbf{A} = \sum \mathbf{A}_{ii}\)) |
| \(\delta_{ij}\) | Symbole de Kronecker |
| \(\mathbf{I}\) | Matrice unité ou tenseur d’ordre deux |
| \(\mathbb{I}\) | Tenseur unité d’ordre quatre |
Mécanique des milieux continus
| Notation | Description |
|---|---|
| \(t_0\) | Temps initial (configuration de référence) |
| \(t\) | Temps courant |
| \(\Omega\) | Domaine arbitraire |
| \(\partial\Omega\) | Bord du domaine \(\Omega\) |
| \(\mathbf{X}\) | Coordonnées matérielles à \(t_0\) |
| \(\mathbf{x}\) | Coordonnées matérielles à l’instant \(t\) |
| \(\mathbf{F}\) | Gradient de déformation |
| \(\mathbf{C}\) | Tenseur de Cauchy-Green à droite |
| \(\mathbf{R}\) | Tenseur de rotation |
| \(\mathbf{U}\) | Tenseur d’élongation |
| \(\mathbf{L}\) | Gradient de vitesse |
| \(\mathbf{D}\) | Tenseur des taux de déformation |
| \(\mathbf{\omega}\) | Tenseur de rotation instantanée |
| \(\mathbf{E}\) | Tenseur de Green-Lagrange |
| \(\mathbf{S}\) | Tenseur des contraintes de Piola-Kirchhoff (premier ou second selon le contexte) |
| \(\mathbf{\sigma}\) | Tenseur des contraintes de Cauchy |
| \(\mathbf{\sigma}^{\bigtriangledown}\) | Taux de Jaumann |
| \(\mathbf{\sigma}^{\bigtriangleup}\) | Taux de Green-Naghdi |
| \(\mathbb{C}\) | Tenseur d’élasticité du matériau |
| \(\mathbb{f}_v\) | Force volumique |
| \(\mathbb{t}\) | Force surfacique |
Analyse par éléments finis
| Notation | Description |
|---|---|
| \(\Delta t^n\) | Pas de temps au n-ième instant |
| \(\mathbf{M}\) | Matrice de masse |
| \(\mathbf{C}^{d}\) | Matrice d’amortissement |
| \(\mathbf{f}_{int}\) | Vecteur des forces internes |
| \(\mathbf{f}_{ext}\) | Vecteur des forces externes |
| \(\mathbf{u}\) | Vecteur des déplacements nodaux |
| \(\mathbf{v} = \dot{\mathbf{u}}\) | Vecteur des vitesses nodales |
| \(\mathbf{a} = \ddot{\mathbf{u}}\) | Vecteur des accélérations nodales |