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Matériaux

Cette section présente en détail les modèles de comportement mécanique implémentés dans Comfor. Pour une introduction complémentaire sur les fondements théoriques, il est recommandé de consulter les documents suivants, ainsi que les publications scientifiques associées.

Modèles de comportement dans Comfor#

Comfor intègre plusieurs modèles pour décrire le comportement matériel dans des contextes de grandes déformations, notamment :

  • Matériaux élastiques

  • Modèle de type Kirchhoff isotrope (Saint-Venant Kirchhoff)

  • Matériaux hyperélastiques

  • Modèle d’Ogden (isotrope, incompressible)
  • Modèle textile non linéaire anisotrope

Les paramètres suivants sont requis pour tout matériau :

Paramètres nécessaires

  • material_name : nom assigné au matériau
  • \(\rho\) : densité massique du matériau

Paramètres optionnels

  • \(\alpha\) : coefficient d’amortissement proportionnel à la masse. Il modélise des forces d’amortissement visqueuses linéaires, proportionnelles aux vitesses absolues.

Exemple :

MATERIALS TYPE <material_type_1>
<material_name> RHO = <mass density> DAMPING = <damping_value> ...

Matériaux élastiques#

Le modèle élastique utilisé dans Comfor repose sur une loi de Saint-Venant Kirchhoff, adaptée aux petites déformations et aux grandes rotations. La loi constitutive est exprimée dans le cadre lagrangien par :

\[ \mathbf{S} = \mathbb{C} \mathbf{E} \]

où \(\mathbf{S}\) est le tenseur de contrainte de Piola-Kirchhoff d'ordre 2, \(\mathbf{E}\) est le tenseur des déformations de Green-Lagrange, et \(\mathbb{C}\) le tenseur d’élasticité du matériau.

Matériau isotrope de Kirchhoff#

Pour un matériau isotrope, \(\mathbb{C}\) s’exprime en fonction des constantes de Lamé \(\lambda\) et \(\mu\) :

\[ \mathbb{C} = \lambda \mathbf{I} \otimes \mathbf{I} + 2\mu \mathbf{I} \]

où \(\lambda\) et \(\mu\) sont les constantes de Lamé, exprimées en fonction du module de Young \(E\) et du coefficient de Poisson \(\nu\) :

\[ \begin{aligned} \lambda &= \frac{\nu E}{(1 + \nu)(1 - 2\nu)} \\ \mu &= \frac{E}{2(1 + \nu)} \end{aligned} \]

Paramètres attendus :

  • \(E\) : module de Young
  • \(\nu\) : coefficient de Poisson

Exemple :

MATERIALS TYPE ELASTIC
<material_name> RHO = <rho> DAMPING = <material_damping> E = <young_modulus> NU = <poissons_ratio>

Matériaux hyperélastiques#

Les matériaux hyperélastiques sont modélisés à partir d’un potentiel d’énergie de déformation \(w(\mathbf{C})\), fonction du tenseur des déformations à droite \(\mathbf{C} = \mathbf{F}^T \mathbf{F}\). La loi de comportement est alors :

\[ \mathbf{S} = 2 \frac{\partial w}{\partial \mathbf{C}} \]

Ce cadre permet de définir des matériaux isotropes ou anisotropes, compressibles ou incompressibles, à partir d’un unique potentiel scalaire.

Deux familles sont disponibles :

  • Matériaux isotropes (caoutchouc, poches à vide, membranes)
  • Matériaux textiles anisotropes

Hyperélasticité isotrope#

Modèle d'Ogden#

Le potentiel d’énergie du modèle d’Ogden s’exprime en fonction des allongements principaux \(\lambda_1\), \(\lambda_2\), \(\lambda_3\) :

\[ w = \sum_{p=1}^N \frac{\mu_p}{\alpha_p} \left( \lambda_1^{\alpha_p} + \lambda_2^{\alpha_p} + \lambda_3^{\alpha_p} - 3 \right) \]
  • \(N\) : degré du modèle (souvent \(N = 3\))
  • \(\mu_p\), \(\alpha_p\) : paramètres à calibrer

En cas d’incompressibilité (hypothèse courante pour les membranes) :

\[ \lambda_1 \lambda_2 \lambda_3 = 1 \]

Cela permet d'exprimer l'évolution de l'épaisseur en fonction des déformations dans le plan de la membrane :

\[ \lambda_3 = \frac{1}{\lambda_1 \lambda_2} = \frac{h}{h_0} \]

où \(h\) est l’épaisseur actuelle et \(h_0\) l’épaisseur initiale. Cette relation est utilisée dans Comfor pour mettre à jour l’épaisseur des éléments de membrane en fonction de la déformation.

Le tenseur des contraintes devient alors :

\[ \mathbf{S} = 2 \frac{\partial w}{\partial \mathbf{C}} - p \mathbf{C}^{-1} \]

où \(p\) est un multiplicateur de Lagrange (pression hydrostatique).

Paramètres attendus :

  • TYPE = OGDEN
  • \(\mu_i\) : coefficients de cisaillement
  • \(\alpha_i\) : exposants sans dimension

Exemple :

MATERIALS TYPE HYPERELASTIC
<material_name> RHO = <rho> DAMPING = <material_damping> TYPE = OGDEN MU = <mu_1 mu_2 mu_3 ...> ALPHA = <alpha_1 alpha_2 alpha_3 ...>

Note

\(N\) est déterminé automatiquement à partir du nombre de paires \((\mu_i, \alpha_i)\).

Avertissement

Le nombre de coefficients \(\mu_i\) et \(\alpha_i\) doit être identique.

Matériaux textiles hyperélastiques#

Le comportement non linéaire des matériaux composites tissés est modélisé à l’aide d’un modèle hyperélastique spécifique 1 2. L’énergie de déformation est décomposée en contributions membranaires et en flexion :

\[ w = w_{\text{mem}} + w_{\text{ben}} \]

La partie membranaire dépend d’invariants physiques associés aux modes de déformation du tissé:

\[ w_{\text{mem}}(I_{\lambda_1}, I_{\lambda_2}, I_\gamma) = w_{\lambda_1}(I_{\lambda_1}) + w_{\lambda_2}(I_{\lambda_2}) + w_\gamma(I_\gamma) \]

où :

\[ \begin{aligned} I_{\lambda_1} &= \ln(\lambda_1) = \frac{1}{2} \ln(I_{41}) \\ I_{\lambda_2} &= \ln(\lambda_2) = \frac{1}{2} \ln(I_{42}) \\ I_\gamma &= \frac{I_{412}}{\sqrt{I_{41} I_{42}}} = \sin(\gamma) \end{aligned} \]

Les invariants sont calculés à partir du tenseur des déformations à droite \(\mathbf{C}\) et des tenseurs de structure \(\mathbf{L}_{ij} = \mathbf{l}_i \otimes \mathbf{l}_j\), avec \(\mathbf{l}_1\), \(\mathbf{l}_2\) les directions initiales de chaîne et trame:

  • \(I_{4i} = \mathbf{C} : \mathbf{L}_{ii}\)
  • \(I_{4ij} = \mathbf{C} : \mathbf{L}_{ij}\)

La contrainte de Piola-Kirchhoff est donnée par :

\[ \begin{aligned} \mathbf{S} &= \frac{1}{2} \frac{\partial w_{mem}}{\partial \mathbf{C}} \\ &= \frac{1}{2} \frac{\partial w_{\lambda_1}}{\partial I_{\lambda_1} } \frac{\partial I_{\lambda_1}}{\partial \mathbf{C}} + \frac{1}{2} \frac{\partial w_{\lambda_2}}{\partial I_{\lambda_2} } \frac{\partial I_{\lambda_2}}{\partial \mathbf{C}} + \frac{1}{2} \frac{\partial w_{\gamma}}{\partial I_{\gamma} } \frac{\partial I_{\gamma}}{\partial \mathbf{C}} \\ &= \mathbf{S}_{\lambda_1} + \mathbf{S}_{\lambda_2} + \mathbf{S}_{\gamma} \end{aligned} \]

Chaque potentiel \(w_p\) est exprimé par défaut sous forme polynomiale :

\[ w_p(I_p) = \sum_{i=1}^{n} k_i^p (I_p)^{2i} \]

Paramètres attendus :

  • WARPORI : orientation initiale de la chaîne (l1_x, l1_y, l1_z)
  • WEFTORI : orientation initiale de la trame (l2_x, l2_y, l2_z)
  • KELONGWARP : coefficients \(k_i^{\lambda_1}\) (élongation chaîne)
  • KELONGWEFT : coefficients \(k_i^{\lambda_2}\) (élongation trame)
  • KSHEAR : coefficients \(k_i^\gamma\) (cisaillement dans le plan)

Exemple :

MATERIALS TYPE HYPERTEXTILE
<material_name> RHO = <rho> DAMPING = <material_damping> WARPORI = <l1_x, l1_y, l1_z> WEFTORI = <l2_x, l2_y, l2_z> KELONGWARP = <kelong1_1, kelong1_2, ...> KELONGWEFT = <kelong2_1, kelong2_2, ...> KSHEAR = <kshear_1, kshear_2, ...>

Références#

  1. Guzman-Maldonado, E., Hamila, N., Boisse, P. & Bikard, J. Thermomechanical analysis, modelling and simulation of the forming of pre-impregnated thermoplastics composites. Composites Part A: Applied Science and Manufacturing 78, 211--222 (2015). ↩

  2. Guzman-Maldonado, E., Hamila, N., Naouar, N., Moulin, G. & Boisse, P. Simulation of thermoplastic prepreg thermoforming based on a visco-hyperelastic model and a thermal homogenization. Materials\ & Design 93, 431--442 (2016). ↩