Mécanique des milieux continus

Description du mouvement#

Le mouvement en tout point d'une région solide \(\Omega\) dans l'espace avec surface frontière \(\partial\Omega\) est décrit par la fonction bijective \(\Phi\) :

\[\mathbf{x} = \Phi (\mathbf{X},t)\]

Cela permet d'obtenir le vecteur position \(\mathbf{x}\) au moment \(t\) de toute particule qui occupait précédemment la position \(\mathbf{X}\). Pour un instant \(t\) fixé, cette fonction définit la déformation en tout point d'un solide entre une configuration de référence \(C_0\) et une configuration actuelle \(C(t)\).

En mécanique des solides, la configuration de référence \(C_0\) est généralement associée à l'état initial du solide non déformé, ce qui permet d'associer les deux configurations dans le même système d'axes. Les coordonnées dans la configuration \(C_0\) sont alors nommées coordonnées lagrangiennes ou matérielles, tandis que celles associées à la configuration courante \(C_t\) sont appelées coordonnées eulériennes ou spatiales. Les différentes quantités présentées dans la suite seront écrites par rapport à l'un ou l'autre de ces référentiels. Par abus de langage, la dépendance au temps \(t\) sera omise dans la suite en supposant \(t > 0\).

Tenseur gradient de déformation#

Afin de décrire la cinématique au voisinage d'un point \(\mathbf{X}\) donné, on introduit le tenseur gradient de la transformation. Ce tenseur est une application qui transforme un vecteur matériel élémentaire \(\mathrm{d}\mathbf{X}\) en sa contrepartie eulérienne \(\mathrm{d}\mathbf{x}\). Le tenseur \(\mathbf{F}\) fournit une description locale au premier ordre :

\[ \mathrm{d}\mathbf{x} = \frac{\partial \Phi}{\partial \mathbf{X}} \mathrm{d}\mathbf{X} = \mathbf{F} \mathrm{d}\mathbf{X} \]

\[ \mathbf{F} = \frac{\partial \mathbf{x}}{\partial \mathbf{X}} \]

On définit aussi la transformation d'un élément de volume élémentaire. Soit un élément de volume dans la configuration de référence, \(dV \in C_0\). Sa contrepartie déformée dans la configuration courante, \(dv \in C_t\), est donnée par le déterminant de la matrice jacobienne du tenseur gradient de la transformation, appelé le jacobien \(J\).

\[ \mathrm{d}v = J \mathrm{d}V \quad \text{avec} \quad J = \det(\mathbf{F}) \]

La condition locale d'impénétrabilité de la matière exige que :

\[ J(\mathbf{X}) > 0 \]

Note : L'application \(\Phi\) étant bijective, le jacobien \(J\) est strictement positif. Physiquement, il serait incohérent de trouver un volume élémentaire nul ou négatif.

La transformation d'un élément de surface \(\mathrm{d}S\) de normale \(\mathbf{N}\) en configuration initiale en un élément de surface \(\mathrm{d}s\) de normale \(\mathbf{n}\) est donnée par la formule de Nanson :

\[ \mathbf{n} \, \mathrm{d}s = J \mathbf{F}^{-T} \mathbf{N} \, \mathrm{d}S \]

Mesure des déformations#

Pour définir la déformation d'un solide, il est nécessaire de caractériser les changements de forme, c'est-à-dire les variations de longueurs et d'angles. Cela correspond en fait aux variations des produits scalaires de vecteurs matériels \(\mathrm{d}\mathbf{X}\) et \(\delta \mathbf{X}\), devenant \(\mathrm{d}\mathbf{x}\) et \(\delta \mathbf{x}\) après transformation :

\[ \mathrm{d} \mathbf{x} \cdot \delta \mathbf{x} = \left( \mathbf{F} \, \mathrm{d}\mathbf{X} \right)^{T} \cdot \left( \mathbf{F} \, \delta \mathbf{X} \right) = \mathrm{d} \mathbf{X} \cdot \mathbf{C} \cdot \delta \mathbf{X} \]

où \(\mathbf{C}\) désigne le tenseur des dilatations de Cauchy-Green droit, défini par :

\[\mathbf{C} = \mathbf{F}^T \mathbf{F}\]

À partir de la variation des produits scalaires, on obtient la déformation associée :

\[ \begin{align} \mathrm{d}\mathbf{x} \cdot \delta \mathbf{x} - \mathrm{d}\mathbf{X} \cdot \delta \mathbf{X} &= \mathrm{d}\mathbf{X} \cdot (\mathbf{C} - \mathbf{I}) \delta \mathbf{X} \\ &= \mathrm{d}\mathbf{X} \cdot 2 \mathbf{E} \, \delta \mathbf{X} \end{align} \]

où \(\mathbf{E}\) est le tenseur des déformations de Green-Lagrange :

\[ \mathbf{E} = \frac{1}{2} (\mathbf{C} - \mathbf{I}) \]

Note : En petites déformations, ce tenseur se confond avec le tenseur des déformations linéarisées \(\mathbf{\varepsilon}\). Les tenseurs \(\mathbf{C}\) et \(\mathbf{E}\) sont définis dans la configuration de référence.

Décomposition polaire#

Le tenseur gradient de déformation \(\mathbf{F}\) peut être exprimé comme le produit d'un tenseur de rotation \(\mathbf{R}\) et d'un tenseur des déformations pures droit \(\mathbf{U}\) :

\[\mathbf{F} = \mathbf{R} \mathbf{U}\]

Le tenseur \(\mathbf{R}\) étant orthogonal, \(\mathbf{R}^T \mathbf{R} = \mathbf{I}\), la définition du tenseur \(\mathbf{U}\) découle de celle de \(\mathbf{C}\) :

\[ \mathbf{C} = \mathbf{F}^T \mathbf{F} = \mathbf{U}^T \mathbf{R}^T \mathbf{R} \mathbf{U} = \mathbf{U}^2 \]

Une analyse spectrale de \(\mathbf{C}\) fournit les directions principales \(\mathbf{N}_i\) et les valeurs propres associées \(\lambda_i\) :

\[\mathbf{C} = \sum_i \lambda_i^2 \, \mathbf{N}_i \otimes \mathbf{N}_i\]

et donc :

\[\mathbf{U} = \sum_i \lambda_i \, \mathbf{N}_i \otimes \mathbf{N}_i\]

où \(\lambda_i\) sont les elongations dans les directions principales.

Vitesses de déformation#

Le tenseur gradient de vitesse \(\mathbf{L}\) est défini par :

\[\mathbf{L} = \dot{\mathbf{F}} \mathbf{F}^{-1}\]

Sa décomposition en partie symétrique et antisymétrique permet de définir le tenseur taux de déformation \(\mathbf{D}\) et le tenseur taux de rotation \(\mathbf{W}\) :

\[ \begin{aligned} \mathbf{D} &= \frac{1}{2} (\mathbf{L} + \mathbf{L}^T) \\ \mathbf{W} &= \frac{1}{2} (\mathbf{L} - \mathbf{L}^T) \end{aligned} \]

Le tenseur \(\mathbf{W}\) correspond au rotationnel du champ des vitesses \(\mathbf{v}\), et décrit la vitesse de rotation du solide, tandis que \(\mathbf{D}\) décrit la vitesse de déformation.

La vitesse de déformation est donnée, dans \(C_0\), par \(\dot{\mathbf{E}}\) et, dans \(C_t\), par \(\mathbf{D}\), ces deux tenseurs étant reliés par :

\[ \dot{\mathbf{E}} = \mathbf{F}^T \mathbf{D} \mathbf{F} = \frac{1}{2} \dot{\mathbf{C}} \]

Mesures des contraintes#

Considérons un solide déformable découpé virtuellement en deux sous-domaines, avant et après transformation. L'équilibre de chacun des deux sous-domaines implique l'existence de forces internes à l'interface. On définit dans la configuration actuelle \(C_t\) le vecteur contrainte \(\mathbf{t}\) qui caractérise les forces de cohésion interne \(\mathrm{d}\mathbf{f}\) exercées sur une partie du solide à travers la surface \(\mathrm{d}s\) de normale externe \(\mathbf{n}\) :

\[ \mathbf{t} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{f}}{\mathrm{d}s} \]

Selon le théorème de Cauchy, pour un point donné, le vecteur contrainte dépend linéairement du vecteur normal \(\mathbf{n}\). Il existe alors un tenseur d'ordre deux, nommé tenseur des contraintes de Cauchy \(\mathbf{\sigma}\), tel que :

\[ \mathbf{t} = \mathbf{\sigma} \mathbf{n} \]

soit aussi :

\[ \mathrm{d}\mathbf{f} = \mathbf{\sigma} \mathbf{n} \, \mathrm{d}s \]

Note : L'équation du principe fondamental de la dynamique permet de démontrer que le tenseur des contraintes de Cauchy est symétrique.

Le tenseur de Cauchy représente les efforts internes exprimés dans la configuration actuelle. De même que pour les différentes mesures de déformation établies précédemment, il est possible de définir d'autres mesures des efforts internes dans la configuration de référence. En notant \(\mathrm{d}\mathbf{F}\), \(\mathrm{d}S\) et \(\mathbf{N}\) les forces internes, la surface et sa normale ramenées en configuration initiale, on définit les trois tenseurs suivants :

\[ \begin{aligned} \mathrm{d}\mathbf{f} &= \mathbf{P} \mathbf{N} \, \mathrm{d}S \\ \mathrm{d}\mathbf{F} &= \mathbf{S} \mathbf{N} \, \mathrm{d}S \\ \mathrm{d}\mathbf{F} &= \mathbf{\tau} \mathbf{n} \, \mathrm{d}s \end{aligned} \]

Ces tenseurs sont nommés respectivement :

\(\mathbf{P}\) : tenseur de Piola-Kirchhoff premier,
\(\mathbf{S}\) : tenseur de Piola-Kirchhoff second,
\(\mathbf{\tau}\) : tenseur de Kirchhoff.

Les relations entre ces différents tenseurs sont données par :

\[ \begin{aligned} \mathbf{\tau} &= J \mathbf{\sigma} = \mathbf{F} \mathbf{S} \mathbf{F}^T = \mathbf{P} \mathbf{F}^T \\ \mathbf{P} &= \mathbf{F} \mathbf{S} = \mathbf{\tau} \mathbf{F}^{-T} = J \mathbf{\sigma} \mathbf{F}^{-T} \\ \mathbf{S} &= \mathbf{F}^{-1} \mathbf{P} = \mathbf{F}^{-1} \mathbf{\tau} \mathbf{F}^{-T} = J \mathbf{F}^{-1} \mathbf{\sigma} \mathbf{F}^{-T} \\ \mathbf{\sigma} &= J^{-1} \mathbf{\tau} = J^{-1} \mathbf{P} \mathbf{F}^T = J^{-1} \mathbf{F} \mathbf{S} \mathbf{F}^T \end{aligned} \]

Note : En petites déformations, ces tenseurs sont identiques.

Dualités contraintes–déformations#

La puissance des efforts intérieurs peut s'exprimer selon différentes formes équivalentes :

\[ \begin{aligned} P_{\text{int}} &= \int_\Omega \mathbf{\sigma} : \mathbf{D} \, \mathrm{d}v \\ &= \int_{\Omega_0} \mathbf{\tau} : \dot{\mathbf{F}} \, \mathrm{d}v_0 \\ &= \int_{\Omega_0} \mathbf{S} : \dot{\mathbf{E}} \, \mathrm{d}v_0 \end{aligned} \]

Il en résulte que les tenseurs \(\mathbf{\sigma}\), \(\mathbf{\tau}\) et \(\mathbf{S}\) sont respectivement duaux des tenseurs cinématiques \(\mathbf{D}\), \(\dot{\mathbf{F}}\) et \(\dot{\mathbf{E}}\) :

\[ \mathbf{S} : \dot{\mathbf{E}} = \mathbf{\tau} : \dot{\mathbf{F}} = \mathbf{\sigma} : \mathbf{D} = \frac{1}{2} \mathbf{S} : \dot{\mathbf{C}} \]

Thermodynamique des milieux continus#

Les lois de la thermodynamique associées à la mécanique des milieux continus sont nécessaires pour introduire le couplage entre phénomènes thermiques et effets mécaniques. Même en l'absence de couplage thermomécanique, le second principe permet d'introduire la conservation de l'énergie.

Premier principe de la thermodynamique#

Le premier principe exprime que la variation totale d'énergie (interne + cinétique) est égale à la somme de la puissance des forces extérieures et de la chaleur fournie au système :

\[ \frac{d}{dt} \left( E_{\text{int}} + E_{\text{cin}} \right) = P_{\text{ext}} + \dot{Q} \]

où :

\(E_{int}\) est l'énergie interne du système (en fonction de l'énergie spécifique \(e\)) ;

\[E_{int} = \int_\Omega \rho e dv\]

\(\dot{Q}\) : taux de chaleur fourni ;

\[ \dot{Q} = \int_\Omega r \, \mathrm{d}v - \int_{\partial\Omega} \mathbf{q} \cdot \mathbf{n} \, \mathrm{d}s \]

La forme développée du premier principe devient :

\[ \frac{d}{dt} \int_\Omega \rho \left( e + \frac{1}{2} \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} \right) \, \mathrm{d}v = \int_\Omega \left( \mathbf{f}_v \cdot \mathbf{v} + r \right) \, \mathrm{d}v + \int_{\partial\Omega} \left( \mathbf{t} \cdot \mathbf{v} - \mathbf{q} \cdot \mathbf{n} \right) \, \mathrm{d}s \]

ou, en posant :

\[ P_{\text{ext}} = \int_\Omega \rho \mathbf{\gamma} \cdot \mathbf{v} \, \mathrm{d}v - \int_\Omega \mathbf{\sigma} : \mathbf{D} \, \mathrm{d}v \]

On obtient la forme locale eulérienne :

\[ \int_\Omega \frac{d}{dt} \rho e \, \mathrm{d}v = \int_\Omega \mathbf{\sigma} : \mathbf{D} \, \mathrm{d}v + \int_\Omega \left( r - \mathrm{div}\, \mathbf{q} \right) \, \mathrm{d}v \]

Et donc, sous forme locale :

\[ \frac{d}{dt} \rho e = \mathbf{\sigma} : \mathbf{D} + r - \mathrm{div}\, \mathbf{q} \]

Deuxième principe de la thermodynamique#

Le second principe introduit la température \(T(\mathbf{x},t)\) et l'entropie \(S\). Cette dernière mesure la variation d'énergie interne associée à la température. Avec :

\[ S = \int_\Omega \rho \eta \, \mathrm{d}v \]

où \(\\eta\) est l'entropie spécifique.

Le second principe de la thermodynamique traduit la non-conservation de l'entropie dans un cadre irréversible (non dissipatif). Il postule que le taux de production d'entropie est toujours supérieur ou égale au taux de chaleur reçue divisé par la température :

\[ \begin{aligned} \frac{dS}{dt} &\ge \frac{\dot{Q}}{T} \\\\ \int_\Omega \rho \dot{\eta} \, \mathrm{d}v &\ge \int_\Omega \frac{r}{T} \, \mathrm{d}v - \int_{\partial\Omega} \frac{\mathbf{q} \cdot \mathbf{n}}{T} \, \mathrm{d}s \end{aligned} \]

En utilisant le théorème de divergence :

\[ \int_\Omega \left( \rho \dot{\eta} + \mathrm{div} \left( \frac{\mathbf{q}}{T} \right) - \frac{r}{T} \right) \, \mathrm{d}v \ge 0 \]

Ceci est valable pour tout point de \(\Omega\), par conséquent la forme locale est donnée par :

\[ \rho \dot{\eta} + \mathrm{div} \left( \frac{\mathbf{q}}{T} \right) - \frac{r}{T} \ge 0 \]

En remplaçant \(r\) via le premier principe et en utilisant :

\[ \mathrm{div} \left( \frac{\mathbf{q}}{T} \right) = \frac{1}{T} \mathrm{div}(\mathbf{q}) - \frac{1}{T^2} \mathbf{q} \cdot \nabla T \]

On définit la fonction de dissipation \(\Phi\), qui se décompose en :

\(\Phi_{\text{int}}\) : dissipation intrinsèque (production d'entropie interne)
\(\Phi_{\text{th}}\) : dissipation thermique par conduction

\[ \Phi = \underbrace {\rho \left( {{T} \,\dot \eta - \frac{d}{dt}e} \right) + \mathbf{ \sigma } :\mathbf{D}}_{\Phi _{\mathrm int}} - \underbrace {\frac{1}{T}\mathbf{q} \cdot \frac{\partial T} {{\partial \underline X }}}_{\Phi _{\mathrm{th}}} \ge 0 \]

En introduisant l'énergie libre spécifique \(\psi = e - T\eta\), on obtient l'inégalité de Clausius-Duhem sous forme locale eulérienne :

\[ \Phi =-\rho \left(\dot{\psi} - \dot{{T} }\,\eta \right)+\mathbf{\sigma}: \mathbf{D}-\frac{1}{T}\mathbf{q} \cdot \frac{\partial T }{\partial \mathbf{X}}\ge 0 \]

ou sous forme lagrangienne :

\[ \Phi_{0}=-{{\rho }_{0}}\left( \dot{\psi }-\dot{{T} }\,\eta \right)+ \mathbf{{S}}:\mathbf{{{\dot{E}}}}-\frac{1}{T} \mathbf{q} \cdot \frac{\partial {T} }{\partial \mathbf{X}} \ge 0 \]

Variables d'état et potentiels thermodynamiques#

L’état thermodynamique d’un milieu, en un point donné et à un instant fixé, est entièrement défini par la connaissance d’un certain nombre de variables scalaires et tensorielles appelées variables d’état. L’évolution d’un système peut alors être vue comme une succession d’états d’équilibre correspondant aux différents points du domaine ¹.

Ces variables thermodynamiques peuvent être observables ou internes.

Les variables observables (comme la déformation ou la température) peuvent être directement mesurées et suffisent à décrire l’évolution des phénomènes réversibles, comme dans le cas de l’élasticité.
Les variables internes interviennent lorsqu’on considère un phénomène dissipatif. Elles dépendent non seulement de l’état actuel, mais aussi de l’histoire de la transformation du matériau. Ces variables ne figurent pas explicitement dans les équations du mouvement et ne sont donc pas mesurables directement. Cependant, elles permettent une description macroscopique de l’état microscopique du matériau (exemples : dislocations, cristallisation, endommagement).

Le choix de ces variables, leur type et leur nombre, nécessite une bonne compréhension physique du problème étudié, et conditionne la précision du modèle.

Thermodynamique rationnelle#

Dans le cas général, une loi de comportement doit fournir les grandeurs suivantes en fonction des variables d’état : l’énergie libre \(\psi\), l’entropie spécifique \(\eta\), le tenseur des contraintes \(\mathbf{\sigma}\), ainsi que le vecteur de flux thermique \(\mathbf{q}\).

Le contenu physique de la théorie dépend donc du choix des variables d’état disponibles. La thermodynamique est alors utilisée pour restreindre l’espace des lois de comportement admissibles et ne retenir que celles qui sont compatibles avec le second principe, c’est-à-dire avec l’inégalité de Clausius-Duhem.

La méthode dite de la thermodynamique rationnelle consiste à postuler l’existence d’un potentiel thermodynamique exprimé en fonction d’un ensemble bien défini de variables d’état (observables ou internes). En général, on suppose l’existence et la forme de l’énergie libre \(\psi\).

Les équations d’état du système sont ensuite déduites de l’inégalité de Clausius-Duhem, combinée à certaines hypothèses propres au phénomène physique étudié (par exemple : processus isotherme \(T = \mathrm{const}\) et homogène \(\nabla T = 0\)).

Thermodynamique des processus irréversibles#

Dans le cas d’un processus irréversible (dissipatif), l’inégalité de Clausius-Duhem permet de définir la fonction de dissipation du système, les forces thermodynamiques associées (par exemple : les contraintes) et les flux thermodynamiques (par exemple : les taux de déformation). Elle permet également de déduire les équations d’évolution des variables internes.

Cette méthode est plus physiques car ses hypothèses (nature des variables d’état, formes des dissipation) sont directement liées aux mécanismes réels du phénomène étudié.

En résumé, si l’on souhaite modéliser le comportement d’un matériau donné à partir d’un minimum de données expérimentales ou physiques, il est préférable d’utiliser la thermodynamique des processus irréversibles, plus contraignante mais aussi plus représentative.

Dans le cas contraire, par exemple pour établir une structure générale sans cibler un matériau particulier, on peut utiliser la thermodynamique rationnelle, qui fournit un cadre formel et cohérent basé sur les principes fondamentaux.

Modèle de comportement#

Les modèles de comportement décrivent les relations entre les déformations et l’évolution des contraintes. On distingue généralement trois grandes familles de modèles constitutifs :

Modèles élastiques (ou de type Cauchy) : une mesure de déformation est liée à une mesure de contrainte. Les contraintes sont alors indépendantes de l’historique, mais l’énergie de déformation peut en dépendre. Ces formulations sont rarement utilisées pour les grandes transformations.
Modèles hypoélastiques : une vitesse de déformation est liée à un taux de contrainte. Ces modèles sont souvent utilisés pour des matériaux à la réponse peu anisotrope. Elles sont faciles à mettre en place et adaptées aux résolutions réactualisées. Les contraintes et énergies de déformation peuvent ne pas être indépendantes de l'historique de déformation.
Modèles hyperélastiques : une densité d’énergie de déformation est définie comme un potentiel thermodynamique des contraintes. Les contraintes et l’énergie sont dérivées de ce potentiel et sont donc indépendantes de l’historique. Ces modèles sont bien adaptés aux grandes déformations.

Principe d’objectivité#

Un modèle de comportement doit vérifier le principe d’indifférence matérielle (ou d’objectivité), c’est-à-dire rester invariant lors d’un changement de référentiel (rotation rigide, translation...).

Quelques exemples de grandeurs objectives :

Tout tenseur exprimé dans la configuration de référence \(C_0\), comme le tenseur de Green-Lagrange \(\mathbf{E}\) ou le tenseur de Piola-Kirchhoff 2 \(\mathbf{S}\) ;
Toute dérivée temporelle d’un tenseur défini dans la configuration de référence (ex. : \(\dot{\mathbf{E}}\), \(\dot{\mathbf{S}}\)) ;
Tout scalaire.

Cependant, certaines dérivées temporelles ne sont pas objectives :

\(\dot{\mathbf{\sigma}}\), dérivée du tenseur des contraintes de Cauchy ;
\(\dot{\mathbf{F}}\), dérivée du gradient de transformation ;
\(\dot{\mathbf{P}}\), dérivée du premier tenseur de Piola-Kirchhoff.

Pour contourner cela, plusieurs dérivées objectives ont été introduites. Par exemple :

Dérivée de Jaumann :

\[ \mathbf{\sigma}^{\triangledown} = \dot{\mathbf{\sigma}} + \mathbf{\sigma} \mathbf{W} - \mathbf{W} \mathbf{\sigma} \]

Dérivée de Green–Naghdi ¹⁰:

\[ \mathbf{\sigma}^{\triangle} = \dot{\mathbf{\sigma}} + \mathbf{\sigma} \dot{\mathbf{R}} \mathbf{R}^T - \dot{\mathbf{R}} \mathbf{R}^T \mathbf{\sigma} \]

Modèles de comportement hyperélastiques#

L’inégalité de Clausius-Duhem constitue le point de départ pour la définition des modèles hyperélastiques. Contrairement aux modèles élastiques ou hypoélastiques, les modèles hyperélastiques reposent sur une base thermodynamique.

En théorie purement mécanique, on néglige souvent les effets thermiques. La dissipation s’écrit alors :

\[ \begin{align} \Phi_0 &= - \rho_0 \dot{\psi} + \mathbf{S} : \dot{\mathbf{E}} \\ \Phi &= - \rho \dot{\psi} + \mathbf{\sigma} : \mathbf{D} \end{align} \]

Un matériau hyperélastique est un matériau dont l’énergie de déformation par unité de volume initial \(w\) ne dépend que de l’état actuel de déformation et qui est non dissipatif, c’est-à-dire que localement, il ne produit aucune entropie :

\[ \begin{align} w(\mathbf{F}) &= \rho_0 \psi \\ \Phi_0 &= 0 \end{align} \]

Le potentiel d’énergie de déformation \(w\) est admissible s’il satisfait les conditions suivantes :

\(w = 0\) lorsque le matériau n’est soumis à aucune sollicitation : \(w(\mathbf{I}) = 0\) ;
\(w(\mathbf{F}) \geq 0\) pour toute déformation ;
\(w\) respecte le principe d’indifférence matérielle : \(w(\mathbf{F}) = w(\mathbf{QF})\) pour toute rotation \(\mathbf{Q}\) orthogonale ;
\(w\) respecte les symétries matérielles du matériau ;
\(w\) est une fonction régulière de classe \(\mathcal{C}^2\) (sa première dérivée et sa seconde dérivée doivent être continues).

En utilisant la définition de la décomposition polaire, on peut montrer que le potentiel d’énergie de déformation ne dépend que de la partie associée aux deformations pures de \(\mathbf{F}\) ²:

\[ w\left(\mathbf{F} \right) = w\left(\mathbf{R^T}\mathbf{F} \right) = w\left(\mathbf{R}^T\mathbf{R}\mathbf{U} \right) =w\left(\mathbf{U} \right) \]

Par conséquent, l’énergie de déformation reste objective si elle est exprimée en fonction du tenseur de Cauchy-Green droit \(\mathbf{C}\) ou du tenseur de Green-Lagrange \(\mathbf{E}\) :

\[ w(\mathbf{F}) = w(\mathbf{C}) = w(\mathbf{E}) \]

En exprimant \(w\) en fonction de \(\mathbf{C}\), on obtient la relation de base des modèles hyperélastiques :

\[ \begin{align} \dot{w} &= \mathbf{S} : \dot{\mathbf{E}} \\ \dot{w}(\mathbf{C}) &= \mathbf{S} : \frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial t} (\mathbf{C} - \mathbf{I}) \\ \frac{\partial w}{\partial \mathbf{C}} : \dot{\mathbf{C}} &= \frac{1}{2} \mathbf{S} : \dot{\mathbf{C}} \\ \Rightarrow \frac{\partial w}{\partial \mathbf{C}} &= \frac{1}{2} \mathbf{S} \\ \mathbf{S} &= 2 \frac{\partial w}{\partial \mathbf{C}} \end{align} \]

Hyperélasticité isotrope#

Un matériau hyperélastique isotrope est défini par un potentiel d’énergie de la forme :

\[ w(\mathbf{C}) = w(I_1, I_2, I_3) \]

où \(I_1\), \(I_2\) et \(I_3\) sont les invariants classiques du tenseur de Cauchy-Green droit, définis par :

\[ \begin{aligned} I_1 &= \mathrm{tr}(\mathbf{C}) = \mathbf{C} : \mathbf{I} \\ I_2 &= \frac{1}{2} \left[ (\mathrm{tr} \, \mathbf{C})^2 - \mathrm{tr}(\mathbf{C}^2) \right] \\ I_3 &= \det(\mathbf{C}) = J^2 \end{aligned} \]

Le potentiel peut également être exprimé en fonction des allongements principaux \(\lambda_i\) :

\[ \begin{aligned} w(\mathbf{C}) &= w(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3) \\\\ I_1 &= \lambda_1^2 + \lambda_2^2 + \lambda_3^2 \\ I_2 &= \lambda_1^2 \lambda_2^2 + \lambda_1^2 \lambda_3^2 + \lambda_2^2 \lambda_3^2 \\ I_3 &= \lambda_1^2 \lambda_2^2 \lambda_3^2 \end{aligned} \]

Plusieurs expressions du potentiel ont été proposées pour décrire le comportement des matériaux hyperélastiques isotropes, notamment par Mooney ³, Ogden ⁴ et Rivlin ⁵.

Le tenseur de Piola-Kirchhoff 2 s’exprime alors comme :

\[ \mathbf{S} = 2 \frac{\partial w}{\partial \mathbf{C}} = 2 \sum_{i=1}^{3} \frac{\partial w}{\partial I_i} \frac{\partial I_i}{\partial \mathbf{C}} \]

Les dérivées des invariants par rapport à \(\mathbf{C}\) sont données par :

\[ \begin{aligned} \frac{\partial I_1}{\partial \mathbf{C}} &= \mathbf{I} \\ \frac{\partial I_2}{\partial \mathbf{C}} &= I_1 \mathbf{I} - \mathbf{C} \\ \frac{\partial I_3}{\partial \mathbf{C}} &= I_3 \mathbf{C}^{-1} \end{aligned} \]

Hyperélasticité transverse isotrope#

Un matériau hyperélastique isotrope transverse est caractérisé par une direction privilégiée \(\mathbf{l}_1\) dans la configuration de référence. Le matériau possède une symétrie de rotation autour de cette direction, ce qui implique que sa réponse reste invariante sous toute rotation autour de \(\mathbf{l}_1\).

Dans ce cas, le potentiel d’énergie de déformation peut être exprimé en fonction de cinq invariants indépendants construits à partir du tenseur de Cauchy-Green droit. Une représentation classique de ce potentiel ⁶

\[ w = w(I_1, I_2, I_3, I_4, I_5) \]

Les trois premiers invariants \(I_1\), \(I_2\) et \(I_3\) sont les invariants classiques définis précédemment. Les invariants \(I_4\) et \(I_5\) sont appelés pseudo-invariants et dépendent de la direction privilégiée ⁶ ⁷ ⁸ ⁹:

\[ \begin{aligned} I_4(\mathbf{C}, \mathbf{l}_1) &= \mathbf{l}_1 \cdot \mathbf{C} \mathbf{l}_1 = \mathbf{C} : \mathbf{L}_{11} \\ I_5(\mathbf{C}, \mathbf{l}_1) &= \mathbf{l}_1 \cdot \mathbf{C}^2 \mathbf{l}_1 = \mathbf{C}^2 : \mathbf{L}_{11} \end{aligned} \]

où le tenseur de structure associé à la direction privilégiée est :

\[ \mathbf{L}_{11} = \mathbf{l}_1 \otimes \mathbf{l}_1 \]

Avec cette définition, le tenseur des contraintes de Piola-Kirchhoff 2 s’écrit :

\[ \mathbf{S} = 2 \frac{\partial w}{\partial \mathbf{C}} = 2 \sum_{i=1}^5 \frac{\partial w}{\partial I_i} \frac{\partial I_i}{\partial \mathbf{C}} \]

Les dérivées des invariants par rapport à \(\mathbf{C}\) sont :

\[ \begin{aligned} \frac{\partial I_4}{\partial \mathbf{C}} &= \mathbf{L}_{11} \\ \frac{\partial I_5}{\partial \mathbf{C}} &= \mathbf{l}_1 \otimes (\mathbf{C} \mathbf{l}_1) + (\mathbf{C} \mathbf{l}_1) \otimes \mathbf{l}_1 \end{aligned} \]

Hyperélasticité orthotrope#

Un matériau hyperélastique orthotrope est caractérisé, dans la configuration de référence, par trois directions privilégiées normées : \(\mathbf{l}_1\), \(\mathbf{l}_2\) et \(\mathbf{l}_3\). Ces directions permettent de définir des tenseurs de structure associés au groupe de symétrie du matériau ⁷ :

\[ \mathbf{L}_{ij} = \mathbf{l}_i \otimes \mathbf{l}_j \]

Le théorème de représentation permet alors d’écrire le potentiel d’énergie de déformation en fonction d’invariants adaptés à la symétrie orthotrope ⁸, ⁹ :

\[ w = w(I_1, I_2, I_3, I_{41}, I_{42}, I_{43}, I_{412}, I_{413}, I_{423}, I_{51}, I_{52}, I_{53}) \]

avec :

\[ \begin{aligned} I_{4i} &= \mathbf{l}_i \cdot \mathbf{C} \mathbf{l}_i = \mathbf{C} : \mathbf{L}_{ii} \\ I_{4ij} &= \mathbf{l}_i \cdot \mathbf{C} \mathbf{l}_j = \mathbf{C} : \mathbf{L}_{ij} \\ I_{5i} &= \mathbf{l}_i \cdot \mathbf{C}^2 \mathbf{l}_i = \mathbf{C}^2 : \mathbf{L}_{ii} \end{aligned} \]

Le tenseur des contraintes de Piola-Kirchhoff 2 associé est alors donné par :

\[ \begin{aligned} \mathbf{S} = 2 \frac{\partial w}{\partial \mathbf{C}} =& \ 2 \sum_{i=1}^3 \left( \frac{\partial w}{\partial I_i} \frac{\partial I_i}{\partial \mathbf{C}} + \frac{\partial w}{\partial I_{4i}} \frac{\partial I_{4i}}{\partial \mathbf{C}} + \frac{\partial w}{\partial I_{5i}} \frac{\partial I_{5i}}{\partial \mathbf{C}} \right) \\\\ & + 2 \sum_{\substack{i,j=1 \\\\ i<j}}^3 \left( \frac{\partial w}{\partial I_{4ij}} \frac{\partial I_{4ij}}{\partial \mathbf{C}} \right) \end{aligned} \]

Les dérivées des invariants par rapport à \(\mathbf{C}\) sont :

\[ \begin{aligned} \frac{\partial I_{4i}}{\partial \mathbf{C}} &= \mathbf{L}_{ii} \\ \frac{\partial I_{4ij}}{\partial \mathbf{C}} &= \frac{1}{2} \left( \mathbf{l}_i \otimes \mathbf{l}_j + \mathbf{l}_j \otimes \mathbf{l}_i \right) \\ \frac{\partial I_{5i}}{\partial \mathbf{C}} &= \mathbf{l}_i \otimes (\mathbf{C} \mathbf{l}_i) + (\mathbf{C} \mathbf{l}_i) \otimes \mathbf{l}_i \end{aligned} \]

References#

Lemaitre, J. & Chaboche, J.-L. Mechanics of Solid Materials. (Cambridge University Press, 1990). ↩
Ciarlet, P. G. Mathematical Elasticity: Three-Dimensional Elasticity. vol. 1 (Society for Industrial and Applied Mathematics, 2021). ↩
Mooney, M. A Theory of Large Elastic Deformation. Journal of Applied Physics 11, 582--592 (1940). ↩
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Spencer, A. J. M. Constitutive Theory for Strongly Anisotropic Solids. in Continuum Theory of the Mechanics of Fibre-Reinforced Composites (ed. Spencer, A. J. M.) 1--32 (Springer, 1984). ↩↩
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Bonet, J. & Wood, R. D. Nonlinear continuum mechanics for finite element analysis. (Cambridge University Press, 1997). ↩